Akaike H.'s A analysis of the minimum AIC procedure PDF

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By Akaike H.

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Es sei n eine nat¨urliche Zahl. Man beweise die folgenden Aussagen: a) Jedes Polynom f vom Grad ≤ n l¨aßt sich wie folgt als Linearkombination der Legendre–Polynome Pk darstellen: n f (x) = ∑ ck Pk (x), k=0 wobei f¨ur k ∈ {0, . . , n} 2n + 1 ck = 2 Z1 f (x)Pk (x) dx. −1 b) F¨ur jedes Polynom g vom Grad < n gilt Z1 −1 g(x)Pn (x) dx = 0. § 19 Integration und Differentiation 45 Aufgabe 19 Q. Sei N ≥ 1 eine vorgegebene nat¨urliche Zahl und x1 , . , xN ∈ R seien die Nullstellen des Legendre–Polynoms PN .

Man beweise: a) Pn hat genau n paarweise verschiedene Nullstellen im Intervall ] − 1, 1[. b) Pn gen¨ugt der Differentialgleichung (1 − x2 )Pn′′(x) − 2xPn′ (x) + n(n + 1)Pn(x) = 0 (Legendresche Differentialgleichung). 36 Aufgaben Aufgabe 16 E*. Man beweise, dass jede in einem offenen Intervall D ⊂ R konvexe Funktion f : D −→ R stetig ist. Aufgabe 16 F. Man beweise: Eine im Intervall I ⊂ R stetige Funktion f : I −→ R ist genau dann konvex, wenn f x+y 2 ≤ f (x) + f (y) 2 f¨ur alle x, y ∈ I. Aufgabe 16 G*.

Sei f : R∗+ −→ R mit f (x) := 1 1 f ′′ (x) + f ′ (x) + 1 − 2 x 4x sin √ x. x Man zeige f (x) = 0. Aufgabe 15 D*. Die Funktion f : R −→ R sei definiert durch f (x) := 0, falls x ≤ 0, xn+1 , falls x > 0. Dabei ist n eine vorgegebene nat¨urliche Zahl. Man zeige, dass f auf ganz R n–mal stetig differenzierbar ist und berechne f (k) f¨ur alle k ∈ {1, 2, . , n}. Aufgabe 15 E*. Die Funktion g : R −→ R sei wie folgt definiert: g(x) := 0, falls x = 0, x2 cos 1x , falls x = 0. Man zeige, dass g in jedem Punkt x ∈ R differenzierbar ist und berechne die Ableitung.

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A analysis of the minimum AIC procedure by Akaike H.


by Steven
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